Znaleziony temat: wzory na ciągi geometryczne

Wzory na ciągi geometryczne

Co to jest ciąg geometryczny?

Ciąg geometryczny to rodzaj ciągu liczb, w którym każdy kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i pewnej stałej nazywanej ilorazem. Oznacza się go zazwyczaj jako (a_1, a_2, a_3, …, a_n), gdzie (a_1) to pierwszy wyraz, a (q) to iloraz.

Wzór ogólny na ciąg geometryczny

Wzór ogólny na ciąg geometryczny wygląda następująco:

[a_n = a_1 cdot q^{n-1}]

gdzie:
– (a_n) to n-ty wyraz ciągu,
– (a_1) to pierwszy wyraz ciągu,
– (q) to iloraz ciągu,
– (n) to numer wyrazu ciągu.

Suma n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego

Aby obliczyć sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, można skorzystać ze wzoru:

[S_n = frac{a_1 cdot (1 – q^n)}{1 – q}]

gdzie:
– (S_n) to suma n pierwszych wyrazów ciągu,
– (a_1) to pierwszy wyraz ciągu,
– (q) to iloraz ciągu,
– (n) to liczba wyrazów sumy.

Przykład obliczeń

Przykładowo, jeśli mamy ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 2, ilorazie równym 3 i chcemy obliczyć sumę pierwszych 4 wyrazów, to postępujemy następująco:

[a_1 = 2] [q = 3] [n = 4]

Podstawiamy do wzoru:

[S_4 = frac{2 cdot (1 – 3^4)}{1 – 3}] [S_4 = frac{2 cdot (1 – 81)}{-2}] [S_4 = frac{2 cdot (-80)}{-2}] [S_4 = frac{-160}{-2}] [S_4 = 80]

Wynik sumy pierwszych 4 wyrazów tego ciągu geometrycznego wynosi 80.

Podsumowanie

Wzory na ciągi geometryczne są przydatne do obliczania kolejnych wyrazów oraz sumy pierwszych wyrazów takich ciągów. Dzięki nim można szybko i sprawnie rozwiązywać zadania z matematyki dotyczące ciągów geometrycznych. Zapamiętaj powyższe wzory i korzystaj z nich w swoich zadaniach!

Napisz komentarz do wpisu, powiedz nam czy Ci pomógł: wzory na ciągi geometryczne